Ans:(A)

Explanation:

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{differential} \mathrm{equation} \mathrm{is} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{Which} \mathrm{is} \mathrm{linear} \mathrm{differential} \mathrm{equation} \\ \mathrm{P}=\frac{1}{\mathrm{x}} \mathrm{and} \mathrm{Q}=\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{Here}, \therefore \mathrm{I}.\mathrm{F}={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{logx}} \\ \mathrm{The} \mathrm{general} \mathrm{solution} \mathrm{is}, \\ \mathrm{y}.\mathrm{x}=\int \mathrm{x}.\sin \mathrm{x} \mathrm{dx}+\mathrm{c\_\_\_\_\_\_\_\_}\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{I}=\int \mathrm{x}.\sin \mathrm{x} \mathrm{dx}=-\mathrm{x} \cos \mathrm{x}-\int -\cos \mathrm{x} \mathrm{dx}=-\mathrm{x} \cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{Put} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{I} \mathrm{in} \mathrm{equation} \left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \Rightarrow \mathrm{xy}=-\mathrm{x} \mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left[\mathrm{y}+\cos \mathrm{x}\right]=\sin \mathrm{x}+\mathrm{c} \end{gathered}$$